Библиотека была образована в 1957 году, а через 15 лет переехала в здание на Башиловской улице, где базируется до сих пор. В 2012 году библиотеке было присвоено имя Андрея Андреевича Вознесенского, таким образом, была увековечена память поэта, скончавшегося за два года до этого. В библиотеке установлен бюст поэта, выполненный известным скульптором Степаном Мокроусовым, создана мемориальная экспозиция из личных вещей, переданных вдовой поэта Зоей Богуславской. Ежегодно в библиотеке проходят памятные мероприятия, на которых присутствуют вдова поэта, друзья, современники и просто почитатели его творчества.

Помимо мемориальной деятельности в библиотеке № 34 проводится большое количество культурных мероприятий. Здесь на базе централизованной библиотечной системы Северного округа Москвы создана и развивается новая библиотечная услуга «Библиомост». Еженедельно в режиме телемоста с библиотеками из разных регионов страны проходят он-лайн встречи с известными деятелями литературы и искусства.

В обширном фонде библиотеки собраны издания по всем отраслям знаний. Библиотека обеспечивает читателей литературой, как для самообразования, так и просто для приятного проведения досуга.